快速分析開關轉換器(上)　FACTs助電路動態分析

本文分上下兩篇，上篇主要介紹用於決定開關轉換器的控制到輸出轉移函數的FACTs；下篇則分析帶耦合電感的DCM操作SEPIC。

本文選擇了運作於非連續導電模式(DCM)的電壓模式耦合電感單端初級電感轉換器(Single-Ended Primary Inductor Converter, SEPIC)。PWM開關將用於形成小訊號模型。

動態分析採用快速分析技術

FACTs背後的基本原理在於電路時間常數的確定(=RC或=L/R)此時在兩種不同的條件下觀察所研究的電路：當刺激訊號降至0時和回應歸零時。透過使用這種技術，將體會到確定特定轉移函數有多快速和直觀。基於這種方法的分析技術是幾十年前開始的。

轉移函數是一種數學關係，它將刺激(刺激訊號)，和由這種刺激所產生的回應訊號相連。如果我們考慮一個線性非時變(Linear Time-Invariant, LTI)系統無延遲，具有靜態增益H0(例如開關轉換器的線性理想功率級)其連接控制訊號Verr(刺激)和輸出Vout(回應)的轉移函數H可表示為：

公式1

首項H0是系統在s=0評估表現出的增益或衰減。該項將帶轉移函數的單位(或維度)。如果回應和刺激都用伏特表示(Verr和Vout)，H是沒有單位的。分子N(s)控制轉移函數的零點，數學意義上，零點是函數幅值為零的根。透過FACTs，我們用數學抽象思維以輕鬆揭開這些零點；不會像一般在諧波分析(s=jω)中所做的僅考慮在s平面的垂直軸，而是連帶考慮到負數根的整個平面。因此，如果電路存在零點，將表現為當輸入訊號調到零角頻率sz時無訊號的輸出回應。在這種情況下，儘管存在刺激，在變形的電路中的一些阻抗阻擋了訊號傳遞，回應為零；當變形的電路在s=sz點被刺激時，在訊號路徑的串聯阻抗趨於無窮或分支將該刺激分流到地面。請注意，這種方便的數學抽象透過觀察提供了巨大的幫助來找到零點，通常毋須寫一行被動電路的代數。圖1提供了簡單的流程圖，詳細介紹了過程。

分母D(s)由電路自然時間常數構成。透過設定刺激訊號為0和確定從電路中臨時移除所考慮的電容或電感「所示」的阻抗，來得出這些時間常數。透過「觀察」，可想像把一個歐姆表置於暫時移除的儲能元件(C或L)，並讀取它顯示的電阻。這其實是個相當簡單的應用，正如圖2中的第二個流程圖所詳述的。

圖3是一個涉及注入源的一階被動電路，該刺激加偏壓於左邊網路。輸入訊號Vin透過網格和節點傳播，形成電阻R3上的回應Vout。我們感興趣的是推導出連接Vout和Vin的轉移函數G。

為確定本例電路的時間常數，我們將刺激設為0(由短路代替0V電壓源，開路代替0A電流源)，拆下電容器。然後，我們連接一個歐姆表來確定電容器端提供的電阻。圖4將示範這些步驟。

如果用圖4的做法，「看到」R1與R2並聯後與R4串聯，所有這些與R3並聯後與rC串聯。該電路的時間常數只透過R和C1即可計算得出：

　公式2

我們可證明第一階系統的極點是其時間常數的倒數。因此：

 公式3

現在，s=0時該電路的準靜態增益是多少？在直流條件下，電感器短路，電容器開路。把這概念應用於圖3的電路，繪製成如圖5所示。想像在R4.前斷開連接，會看到一個含R1和R2的電阻分壓器。R2.上的戴維寧(Thévenin)電壓為：

 公式4

輸出電阻Rth是R1與R2並聯的值。因此完整的轉移函數涉及到電阻分壓器(由與Rth串聯的R4和載入的R3所構成)。rC是斷開的，由於電容C1在這直流分析中被移除。因此：

公式5

基本就是這些，我們正錯過零點。在前文提到，零點透過阻斷刺激訊號的傳播而在電路中表現出來，產生一個無訊號的輸出回應(見圖1)。若我們考慮一個變形的電路，其中C1由代替，如圖6，當刺激加偏壓於電路，有什麼特定的條件代表無訊號回應呢？無訊號回應只代表流過R3的電流為0。這不是短路，而是相當於類比的接地。

如果在R3中沒有電流，那麼串聯的rC和即為短路：

公式6

sz根是我們想要的零點位置：

公式7

因而有：

公式8

現在我們可組合所有這些結果，形成以圖3電路為特徵的最終轉移函數：

公式9

這就是所謂的低熵運算式，從中可立即辨別靜態增益G₀、極點ωp和零點ωz。高熵運算式將在考慮阻抗分壓器時透過施加大規模外力到原來的電路來獲得，如：

公式10

不只在推導運算式時可能會出錯，而且將結果格式化到像公式9這樣需要更多的精力。另外，請注意，在這特定的例子中，在寫公式9時我們沒有寫一行代數。如果我們後來發現一個錯誤，那麼很容易回到一個單獨的示意圖並單獨修復它。公式9的校正很簡單，但嘗試對公式10進行相同的修正，可能會從頭開始。

FACTs應用於二階系統

FACTs同樣適用於n階被動或主動電路。透過計算狀態變數是獨立的儲能元件數量來確定電路的階數。若我們考慮一個具有有限靜態增益H₀的二階系統，其轉移函數可表示如下：

公式11

當H₀帶轉移函數的單位，那麼N:D的比值是沒有單位的。這意味著a1和b1的單位是時間[s]。當a1無訊號回應，b1的刺激為零，將確定的時間常數相加。對於二階系數，a2或b2，維度是時間的平方[s2]，將時間常數結合為一個產物。然而，在這時間常數產物中，重用了已經確定為a1或b1的一個時間常數，而二階時間常數的確定需要一個不同的符號：

公式12

在這個定義中，設置標號出現在「指數」中的儲能元件處於高頻狀態(電容被短路，電感被開路)，當我們暫時從電路中移除二階元件端(參見下標)，可從中確定電阻。當a2必須為無訊號的輸出和b2的刺激減為0時，可運用此法。當然，當觀察有用時，它總是最快和最高效的得出N的方法。乍看有點難以理解，但沒有什麼不可克服的。

圖7是一個經典的二階濾波器，用於確定在連續導通模式(CCM)中工作的電壓模式降壓轉換器的輸出阻抗。阻抗是連接一個刺激訊號Iout與回應訊號Vout的一個轉移函數。這裡，Iout是我們已安裝的測試生成器，而Vout是其兩端產生的電壓。要從公式11中確定各種係數，我們可按照圖2的流程圖，從s=0開始：如圖所示，電感短路，電容開路。該電路是簡單的，電流源的電阻R0不過是rL和Rload簡單的並聯組合：

公式13

這個電路中有零點嗎？我們看看圖8所示的變形電路。再看看當刺激電流Iout調為零角頻率sz時，什麼樣的元件組合將使回應Vout為零。我們可發現兩個變形的短路涉及rL-L1和rc-C2。

立即確定這兩個阻抗的根：

公式14

公式15

因此分母N(s)表示為

公式16

分母D(s)的一階係數b1是由L1兩端的阻抗提供，而C2處於直流狀態(開路)：有1。然後看驅動C2而L1設置為直流狀態(短路)時的阻抗：得出2。如圖9所示，從該草圖可立即得出b1的定義：

公式17

二階係數b2是用公式12中導入的符號來確定的。L1設置在其高頻狀態(開路)，驅動C2以得到的阻抗，C2處於高頻狀態(短路)，則驅動L1而得到的阻抗。圖10顯示了兩種可能的整理結果，通常選擇最簡單的運算式，或避免不確定性的一個，如果有的話(如∞×0或∞/∞)。下面對於b2的兩個定義是相同的，可以看出上面的是最簡單的：

公式18

現在我們有所有組合最終轉移函數的元件，定義為：

公式19

我們已經確定了這個轉移函數，而沒有寫一行代數，只是拆分該電路為幾個簡單的草圖個別解決。此外，正如預期的那樣，公式19已經是正準形式，可輕易的看到一個靜態增益、兩個零點和一個可用一個諧振分量ω0和一個品質因數Q進一步整理的二階分母。沒有考慮到Z1、Z2和Rload的並聯組合，我們不可能如此迅速地得到此結果。

採用FACTs，透過觀察可以推導出轉移函數，尤其是對於被動電路。由於電路複雜，包括電壓或電流控制源，觀察起來沒有那麼明顯，需要利用經典的網格和節點分析。但FACTs提供幾個優點：由於將電路拆分為用於確定最終的多項式運算式係數的個別小草圖，因此如果在最終的運算式中發現一個錯誤，總是可以回到一個特定的繪圖並個別修正。

此外，當確定與轉移函數的ai和bi相關的項時，自然會得到一個多項式運算式，而不用投入進一步的精力來收集和重新排列這些項。最後，在複雜的被動和主動電路中，SPICE對驗證個別極點和零點的計算有很大的幫助。

(本文作者任職於安森美半導體)